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三角函数的图象与性质         
三角函数的图象与性质
作者:数学组 文章来源:本站原创 点击数:2157 更新时间:2014-12-26 11:11:37

导学目标: 1.能画出ysin xycos xytan x的图象,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间2(π)内的单调性.  

  

自主梳理  

1.三角函数的图象和性质  

函数  

ysin x  

ycos x  

ytan x  

图象  

  

  

  

定义域  

   

   

   

值域  

   

   

   

周期性  

   

   

   

奇偶性  

   

   

   

单调性  

______________________上增,在__________________________________上减  

__________________________上增,在______________________________上减  

在定义域的每一个区间________________________________内是增函数  

2.正弦函数ysin x  

x____________________________________时,取最大值1  

x____________________________________时,取最小值-1.  

3.余弦函数ycos x  

x__________________________时,取最大值1  

x__________________________时,取最小值-1.  

4ysin xycos xytan x的对称中心分别为_____________________________________.  

5ysin xycos x的对称轴分别为__________________________ytan x没有对称轴.  

自我检测  

1(2010·十堰月考)函数yAsin(ωxφ) (Aωφ为常数,A>0ω>0)在闭区间[π0]上的图象如图所示,则ω                                               (  )  

  

A1 B2 C3 D4  

2.函数ysin3(π)图象的对称轴方程可能是                              (  )  

Ax=-6(π) Bx=-12(π)  

Cx6(π) Dx12(π)  

3(2010·湖北)函数f(x)sin4(π)xR的最小正周期为                  (  )  

A.2(π) Bπ C D  

4(2010·北京海淀高三上学期期中考试)函数f(x)(sin xcos x)2cos 2x的最小正周期为                                                                        (  )  

A B C Dπ  

5.如果函数y3cos(2xφ)的图象关于点,0()中心对称,那么|φ|的最小值为  (  )  

A.6(π) B.4(π) C.3(π) D.2(π)  

  

探究点一 求三角函数的定义域  

1 (2011·衡水月考)求函数yx(1)的定义域.  

   

   

   

   

变式迁移1 函数ylg(2sin x1)的定义域为________________________  

探究点二 三角函数的单调性  

2 求函数y2sin-x(π)的单调区间.  

   

   

   

   

变式迁移2 (2011·南平月考)(1)求函数ysin-2x(π)x[ππ]的单调递减区间;  

(2)求函数y3tan4(x)的周期及单调区间.  

   

   

   

   

探究点三 三角函数的值域与最值  

3 已知函数f(x)2asin(2x3(π))b的定义域为[02(π)],函数的最大值为1,最小值为-5,求ab的值.  

   

   

   

   

变式迁移3 设函数f(x)acos xb的最大值是1,最小值是-3,试确定g(x)bsin(ax3(π))的周期.  

   

   

   

   

  

转化与化归思想的应用  

 (12)求下列函数的值域:  

(1)y=-2sin2x2cos x2  

(2)y3cos xsin xx[02(π)]  

(3)ysin xcos xsin xcos x.  

【答题模板】  

解 (1)y=-2sin2x2cos x22cos2x2cos x  

2(cos x2(1))22(1)cos x[1,1]  

cos x1时,ymax4  

cos x=-2(1)时,ymin=-2(1),故函数值域为[2(1)4][4]  

(2)y3cos xsin x2cos(x6(π))  

x[02(π)]6(π)x6(π)3()  

ycos x[6(π)3()]上单调递减,  

2(1)cos(x6(π))2(3)  

y3,故函数值域为[3][8]  

(3)tsin xcos x,则sin xcos x2(t2-1),且|t|.  

yt2(t2-1)2(1)(t1)21t=-1时,ymin=-1  

t时,ymax2(1).  

函数值域为[12(1)][12]  

【突破思维障碍】  

1.对于形如f(x)Asin(ωxφ)x[ab]的函数在求值域时,需先确定ωxφ的范围,再求值域.同时,对于形  

yasin ωxbcos ωxc的函数,可借助辅助角公式,将函数化为ysin(ωxφ)c的形式,从而求得函数的最值.  

2.关于yacos2xbcos xc(yasin2xbsin xc)型或可以为此型的函数求值域,一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题.  

提醒:不论用什么方法,切忌忽略函数的定义域.  

  

1熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础,三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提,求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式()  

2.三角函数的值域问题,实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题.  

3.函数yAsin(ωxφ) (A>0ω>0)的单调区间的确定,基本思想是把ωxφ看作一个整体,利用ysin x的单调区间来求.   

  

(满分:75)  

   

一、选择题(每小题5分,共25)  

1(2011·黄山月考)已知函数ysin x的定义域为[ab],值域为[12(1)],则ba的值不可能是                                                                  (  )  

A.3(π) B.3() Cπ D.3()  

2(2010·安徽6校高三联考)已知函数ytan ωx (ω>0)与直线ya相交于AB两点,且|AB|最小值为π,则函数f(x)sin ωxcos ωx的单调增区间是                  (  )  

A.6(π) (kZ)  

B.3() (kZ)  

C.3(π) (kZ)  

D.6() (kZ)  

3.函数f(x)tan ωx (ω>0)的图象的相邻的两支截直线y4(π)所得线段长为4(π),则f4(π)的值是                                                                       (  )  

A0 B1 C.-1 D.4(π)  

4.函数y=-xcos x的部分图象是图中                                     (  )  

  

  

5(2011·三明模拟)若函数ysin xf(x)[4(π)4()]上单调递增,则函数f(x)可以是(  )  

A1 Bcos x  

Csin x D.-cos x  

题号  

1  

2  

3  

4  

5  

答案  

   

   

   

   

   

二、填空题(每小题4分,共12)  

6.设点P是函数f(x)sin ωx的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是8(π),则f(x)的最小正周期是________  

7.函数f(x)2sin 4(x)对于任意的xR,都有f(x1)f(x)f(x2),则|x1x2|的最小值为________  

8(2010·江苏)定义在区间2(π)上的函数y6cos x的图象与y5tan x的图象的交点为P,过点PPP1x轴于点P1,直线PP1ysin x的图象交于点P2,则线段P1P2的长为________  

三、解答题(38)  

9(12)(2011·厦门月考)已知函数f(x)cos 2x(2cos4x-3cos2x+1),求它的定义域和值域,并判断它的奇偶性.  

   

   

   

   

10(12)(2010·福建改编)已知函数f(x)2sin(ωx6(π))a(ω>0)g(x)2cos(2xφ)1的图象的对称轴完全相同.  

(1)求函数f(x)的最小正周期;  

(2)求函数f(x)的单调递减区间;  

(3)x[02(π)]时,f(x)的最小值为-2,求a的值.  

   

   

   

   

11(14)(2010·安徽合肥高三二模)已知向量a(sin x2sin x)b(2cos xsin x),定义f(x)a·b.  

(1)求函数yf(x)xR的单调递减区间;  

(2)若函数yf(xθ) (0<θ<2(π))为偶函数,求θ的值.  

   

   

   

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