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两角和与差的正弦、余弦和正切公式         
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
作者:数学组 文章来源:本站原创 点击数:3621 更新时间:2014-12-26 11:14:03

导学目标: 1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用.  

  

自主梳理  

1(1)两角和与差的余弦  

cos(αβ)_____________________________________________  

cos(αβ)_____________________________________________.  

(2)两角和与差的正弦  

sin(αβ)_____________________________________________  

sin(αβ)_____________________________________________.  

(3)两角和与差的正切  

tan(αβ)_____________________________________________  

tan(αβ)_____________________________________________.  

(αβαβαβ均不等于kπ2(π)kZ)  

其变形为  

tan αtan βtan(αβ)(1tan αtan β)  

tan αtan βtan(αβ)(1tan αtan β)  

2辅助角公式  

asin αbcos αsin(αφ)  

其中(b)φ称为辅助角  

自我检测  

1(2010·福建)计算sin 43°cos 13°cos 43°sin 13°的结果等于                   (  )  

A.2(1) B.3(3) C.2(2) D.2(3)  

2已知cos6(π)sin α5(3)sin6()的值是                          (  )  

A.-5(3) B.5(3) C.-5(4) D.5(4)  

3函数f(x)sin 2xcos 2x的最小正周期是                                 (  )  

A.2(π) Bπ C2π D4π  

4(2011·台州月考)0α<2π,若sin α>cos α,则α的取值范围是           (  )  

A.2(π) B.,π(π)  

C.3() D.2()  

5(2011·广州模拟)已知向量a(sin xcos x),向量b(1),则|ab|的最大值为(  )  

A1 B. C3 D9  

  

探究点一 给角求值问题(三角函数式的化简、求值)  

1 求值  

(1)[2sin 50°sin 10°(1tan 10°)]  

(2)sin(θ75°)cos(θ45°)·cos(θ15°)  

   

   

   

   

变式迁移1 求值(1)sin 70°(2cos 10°-sin 20°)  

(2)tan(6(π)θ)tan(6(π)θ)tan(6(π)θ)tan(6(π)θ)  

   

   

   

   

探究点二 给值求值问题(已知某角的三角函数值,求另一角的三角函数值)  

2 已知0<β<4(π)<α<4()cos-α(π)5(3)  

sin+β()13(5),求sin(αβ)的值.  

   

   

   

   

变式迁移2 (2011·广州模拟)已知tan+α(π)2tan β2(1).  

(1)tan α的值;  

(2)2sin αsin β+cos(α+β)(sin(α+β)-2sin αcos β)的值.  

   

   

   

   

探究点三 给值求角问题(已知某角的三角函数值,求另一角的值)  

3 已知0<α<2(π)<βtan 2(α)2(1)cos(βα)10(2).  

(1)sin α的值; (2)β的值.  

   

   

   

   

变式迁移3 (2011·岳阳模拟)sin A5(5)sin B10(10),且AB均为钝角,求AB的值.  

   

   

   

   

  

转化与化归思想的应用  

 (12)已知向量a(cos αsin α)b(cos βsin β)|ab|5(5).  

(1)cos(αβ)的值;  

(2)若-2(π)<β<0<α<2(π),且sin β=-13(5),求sin α的值.  

【答题模板】  

解 (1)|ab|5(5)a22a·bb25(4).[2]  

a(cos αsin α)b(cos βsin β)a2b21  

a·bcos αcos βsin αsin βcos(αβ)[4]  

cos(αβ)5()5()5(3).[6]  

(2)2(π)<β<0<α<2(π)0<αβ<π.cos(αβ)5(3)sin(αβ)5(4).[8]  

sin β=-13(5),-2(π)<β<0cos β13(12).[9]  

sin αsin[(αβ)β]sin(αβ)cos βcos(αβ)sin β  

5(4)×13(12)5(3)×13(5)65(33).[12]  

【突破思维障碍】  

本题是三角函数问题与向量的综合题,唯一一个等式条件|ab|5(5),必须从这个等式出发,利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第(1)问,在第(2)问中需要把未知角向已知角转化再利用角的范围来求,即将α变为(αβ)β.  

【易错点剖析】  

|ab|平方逆用及两角差的余弦公式是易错点,把未知角转化成已知角并利用角的范围确定三角函数符号也是易错点.  

  

1转化思想是实施三角变换的主导思想,变换包括:函数名称变换,角的变换,1的变换,和积变换,幂的升降变换等等.  

2.变换则必须熟悉公式.分清和掌握哪些公式会实现哪种变换,也要掌握各个公式的相互联系和适用条件.  

3.恒等变形前需已知式中角的差异,函数名称的差异,运算结构的差异,寻求联系,实现转化.  

4.基本技巧:切割化弦,异名化同,异角化同或尽量减少名称、角数,化为同次幂,化为比例式,化为常数.   

  

(满分:75)  

一、选择题(每小题5分,共25)  

1(2011·佛山模拟)已知sin3(π)sin α=-5(3),则cos3()等于            (  )  

A.-5(4) B.-5(3) C.5(3) D.5(4)  

2.已知cos6(π)sin α3(3),则sin6()的值是                        (  )  

A.-3(3) B.3(3) C.-3(2) D.3(2)  

3(2011·宁波月考)已知向量a,1(π)b(4,4cos α),若ab,则sin3()等于                                                                      (  )  

A.-4(3) B.-4(1) C.4(3) D.4(1)  

4.函数ysin xcos x图象的一条对称轴方程是                             (  )  

Ax4() Bx4()  

Cx=-4(π) Dx=-2(π)  

5.在ABC中,3sin A4cos B6,4sin B3cos A1,则C的大小为           (  )  

A.6(π) B.6(5)π  

C.6(π)6(5)π D.3(π)3(2)π  

题号  

1  

2  

3  

4  

5  

答案  

   

   

   

   

   

二、填空题(每小题4分,共12)  

6(2010·重庆)如图,  

  

图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C,各段弧所在的圆经过同一点P(P不在C)且半径相等.设第i段弧所对的圆心角为αi (i1,2,3),则cos 3(α1)cos 3(α2+α3)  

sin 3(α1)·sin 3(α2+α3)________.  

7.设sin α5(3) <α<π(π)tan(πβ)2(1),则tan(αβ)________.  

8(2011·惠州月考)已知tan αtan β是方程x23x40的两根,且αβ2(π),则tan(αβ)__________αβ的值为________  

三、解答题(38)  

9(12)(1)已知α2(π)β,π(π)sin(αβ)65(33)cos β=-13(5).sin α  

(2)已知αβ(0π),且tan(αβ)2(1)tan β=-7(1),求2αβ的值.  

   

   

   

   

10(12)(2010·四川)(1)证明两角和的余弦公式C(αβ)cos(αβ)cos αcos β  

sin αsin βC(αβ)推导两角和的正弦公式S(αβ)sin(αβ)sin αcos βcos αsin β.  

2)已知△ABC的面积S=(AB)·(AC)3,且cos B5(3),求cos C.  

   

   

   

   

11(14)(2011·济南模拟)设函数f(x)a·b,其中向量a(2cos x,1)b(cos xsin 2x)xR.  

(1)若函数f(x)1,且x3(π),求x  

(2)求函数yf(x)的单调增区间,并在给出的坐标系中画出yf(x)在区间[0π]上的图象.  

  

   

   

   

   

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